题目内容
【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)容易知道所围成正方形的边长为10,再结合长方体各边的长度,即可找出正方形的位置,从而画出这个正方形;
(2)分别以直线DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,考虑用空间向量解决本问,能够确定A,H,E,F几点的坐标.设平面EFGH的法向量为,根据
即可求出法向量
,
坐标可以求出,可设直线AF与平面EFGH所成角为θ,由sinθ=
即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值.
解:(1)交线围成的正方形EFGH如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则:
EH=EF=BC=10,EM=AA1=8;
∴,∴AH=10;
以边DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:
A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8);
∴;
设为平面EFGH的法向量,则:
,取z=3,则
;
若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ,则:
sinθ==
;
∴直线AF与平面α所成角的正弦值为.
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