Question

6．已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和．
（1）S₄，S₁₀，S₇成等差数列，证明：a₁，a₇，a₄也成等差数列；
（2）设S₃=$\frac{3}{2}$，S_b=$\frac{21}{16}$，b_n=λa_n-n²，若数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公比为q，根据等差中项的性质可知2S₁₀=S₄+S₇，代入等比数列求和公式整理得1+q³=2q⁶．进而根据等比数列的通项公式可推断a₁+a₄=2a₇．进而证明原式．
（2）把等比数列的求和公式代入S₃和S₆，两式相除即可求得q，把q代入S₃求得a₁，进而可得数列{a_n}的通项公式，根据数列{b_n}是单调递减数列可知b_n+1＜b_n，把b_n=λa_n-n²代入不等式，进而根据当n是奇数时，当n=1时取最大值；n是偶数时，当n=2时取最大值，进而得到λ的范围．

解答 （1）证明：设数列{a_n}的公比为q，
因为S₄，S₁₀，S₇成等差数列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
因为1-q≠0，所以化简可得1+q³=2q⁶．
所以a₁+a₁q³=2a₁q⁶，即a₁+a₄=2a₇．
所以a₁，a₇，a₄也成等差数列．
（2）解：因为S₃=$\frac{3}{2}$，S₆=$\frac{21}{16}$，
所以$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=$\frac{3}{2}$，①$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{21}{16}$，②
由②÷①，得1+q³=$\frac{7}{8}$，所以q=-$\frac{1}{2}$，代入①，得a₁=2．
所以a_n=$2•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
又因为b_n=λa_n-n²，所以b_n=2λ•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$-n²，
由题意可知对任意n∈N^*，数列{b_n}单调递减，
所以b_n+1＜b_n，即2λ•$（-\frac{1}{2}）^{n}$-n²＜2λ•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$-n²，
即6λ•$（-\frac{1}{2}）^{n}$＜2n+1对任意n∈N^*恒成立，
当n是奇数时，λ＞-$\frac{（2n+1）•{2}^{n}}{6}$，当n=1时，-$\frac{（2n+1）•{2}^{n}}{6}$取得最大值-1，
所以λ＞-1；
当n是偶数时，λ＜$\frac{（2n+1）•{2}^{n}}{6}$，当n=2时，-$\frac{（2n+1）•{2}^{n}}{6}$取得最小值$\frac{10}{3}$，
所以λ＜$\frac{10}{3}$．
综上可知，-1＜λ＜$\frac{10}{3}$，即实数λ的取值范围是（-1，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题主要考查等比数列的性质，考查了学生根据已知条件，分析和解决问题的能力．