题目内容

【题目】已知椭圆E,点AB分别是椭圆E的左顶点和上顶点,直线AB与圆Cx2+y2c2相离,其中c是椭圆的半焦距,P是直线AB上一动点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为MN,若存在点P使得△PMN是等腰直角三角形,则椭圆离心率平方e2的取值范围是_____

【答案】[).

【解析】

根据直线和圆相离得到a2b2c2a2+b2),根据等腰三角形得到2e45e2+1≤0,计算得到答案.

AB所在直线方程为,即bxay+ab0

又直线AB与圆Cx2+y2c2相离,∴c

a2b2c2a2+b2),∴a2a2c2)>c22a2c2),

整理得:e43e2+10,解得0e2

又存在点P使得△PMN是等腰直角三角形,

则在RtOPN中,OPONc

,即a2b2≤2c2a2+b2),

a2a2c2≤2c22a2c2),

整理得2e45e2+1≤0,解得e21

e2的取值范围是[).

故答案为:[).

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