Question

9．已知函数f（x）=x³-x，如果过点（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围是（-1，0）．

Answer 1

分析 先将过点A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x³-3x²+m+1=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x³-3x²+m+1，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围．

解答 解：由题意得：f′（x）=3x²-1，设切点为（x₀，y₀），
则切线的斜率k=3x₀²-1=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{{x}_{0}}^{3}-{x}_{0}-m}{{x}_{0}-1}$，
即2x₀³-3x₀²+m+1=0，由条件知该方程有三个实根，
∴方程2x³-3x²+m+1=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x³-3x²+m+1，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+1；x=1，g（x）有极小值m，
由题意有，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=m+1＞0}\\{g（1）=m＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜0时，
函数g（x）有三个不同零点，
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．
故答案为：（-1，0）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．