题目内容
【题目】已知点是抛物线
:
上的一点,其焦点为点
,且抛物线
在点
处的切线
交圆
:
于不同的两点
,
.
(1)若点,求
的值;
(2)设点为弦
的中点,焦点
关于圆心
的对称点为
,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)利用导数求出过点的抛物线的切线,切线与圆相交,根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可;
(2)设点,联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程,由韦达定理求出中点
的坐标,由两点间距离公式表示出
,令
换元,利用函数的单调性即可求出取值范围.
设点,其中
.
因为,所以切线
的斜率为
,于是切线
:
.
(1)因为,于是切线
:
.
故圆心到切线
的距离为
.
于是.
(2)联立得
.
设,
,
.则
,
.
解得
又,于是
.
于是,
.
又的焦点
,于是
.
故.
令,则
.于是
.
因为在
单调递减,在
单调递增.
又当时,
;当
时,
;
当时,
.
所以的取值范围为
.

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