题目内容
【题目】已知函数.
(I)求曲线在点
处的切线方程.
(Ⅱ)若直线为曲线
的切线,且经过原点,求直线
的方程及切点坐标.
【答案】(Ⅰ)4x﹣y﹣18=0(Ⅱ)y=13x,切点为(﹣2,﹣26)
【解析】
(Ⅰ)求得函数的导数3x2+1,求得在点
切线的斜率和切点的坐标,即可求解切线的方程;
(Ⅱ)设切点为(m,n),求得切线的斜率为1+3m2,根据切线过原点,列出方程,求得的值,进而可求得切线的方程.
(Ⅰ)由题意,函数f(x)=x3+x﹣16的导数为3x2+1,得
,
即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4,且切点为(1,﹣14),
所以切线方程为y+14=4(x﹣1),即为4x﹣y﹣18=0;
(Ⅱ)设切点为(m,n),可得切线的斜率为1+3m2,
又切线过原点,可得1+3m2,解得m=﹣2,
即切点为(﹣2,﹣26),所以切线方程为y+26=13(x+2),即y=13x.
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