题目内容

(2012•福建模拟)对于非空实数集A,记A*={y|?x∈A,y≥x}.设非空实数集合M⊆P,若m>1时,则m∉P. 现给出以下命题:
①对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有P*⊆M*
②对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有M*∩P≠∅;
③对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必有M∩P*=∅;
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P,必存在常数a,使得对任意的b∈M*,恒有a+b∈P*
其中正确的命题是
①④
①④
(写出所有正确命题的序号)
分析:由A*={y|?x∈A,y≥x}.可知:数集A*是数集A的所有上界组成的集合.进而可通过举例否定②③,对于①④还需要利用集合间的关系去证明.
解答:解:由A*={y|?x∈A,y≥x}.可知:数集A*是数集A的所有上界组成的集合.
①分别用Amax、Amin表示集合A的所有元素(数)的最大值、最小值.
由M⊆P及A*的定义可知:Mmax
M
*
min
,Pmax
P
*
min
M
*
min
Pmax,∴
M
*
min
P
*
min
,∴必有P*⊆M*.故①正确.
②若设M=(-∞,1)=P,满足M⊆P,而M*=[1,+∞),此时M*∩P=∅,故②不正确.
③若设M=(-∞,1]=P,满足M⊆P,而P*=[1,+∞),此时M∩P*={1}≠∅.
④由①可知:对于M⊆P,必有P*⊆M*;取a=
P
*
min
-
M
*
min
,则对于任意的b∈M*,必恒有a+b∈P*
故正确命题是①④.
点评:本题考查了新定义,理解数集A*是数集A的所有上界组成的集合及集合间的关系是解决问题的关键.
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