Question

5．已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）

• A． $\frac{{17\sqrt{2}}}{8}$
• B． 3
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$
• D． $\frac{{3\sqrt{13}}}{2}$

Answer 1

分析 先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

解答 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，
点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y²=x，
可得y²-ty-m=0，
根据韦达定理有y₁•y₂=-m，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=6，从而（y₁•y₂）²+y₁•y₂-6=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-3，故m=3．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，
又F（$\frac{1}{4}$，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×3×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$y₁=$\frac{13}{8}$y₁+$\frac{9}{2{y}_{1}}$
≥2$\sqrt{\frac{9×13}{16}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
当且仅当$\frac{13}{8}$y₁=$\frac{9}{2{y}_{1}}$，即y₁=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
故选D．

点评 求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．