Question

3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁+y₂的值及直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程；
（2）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，则可分别表示k_PA和k_PB，根据倾斜角互补可知k_PA=-k_PB，进而求得y₁+y₂的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．

解答 解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y²=2px．
∵点P（1，2）在抛物线上，∴2²=2p，解得p=2．
∴所求抛物线的方程是y²=4x，准线方程是x=-1；
（2）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB．
则k_PA=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$（x₁≠1），k_PB=$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$（x₂≠1），
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴k_PA=-k_PB．
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上，得
y₁²=4x₁，①y₂²=4x₂，②
∴$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{1}{4}{{y}_{1}}^{2}-1}$=-$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{1}{4}{{y}_{2}}^{2}-1}$，
∴y₁+2=-（y₂+2），∴y₁+y₂=-4．
由①-②得直线AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1．

点评 本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力．