Question

【题目】已知点P(2，－1)．
（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解:①当l的斜率k不存在时显然满足要求，

∴l的方程为x＝2；

②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0.

由点到直线距离公式得 ，

∴k＝ ，∴l的方程为3x－4y－10＝0.

故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

（2）解:易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以 ＝－ ＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，

即2x－y－5＝0.

即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，

最大距离为 .

【解析】（1）先对直线l的斜率的存在性进行讨论，当直线的斜率存在时利用斜截式设出直线l的方程，再由嗲到直线的距离公式列出方程，解方程即可求得斜率k的值，从而求得所需直线的方程；（2）先分析出满足距离最大直线的条件是：过P点且与PO垂直的直线，从而利用两直线垂直求得直线l的斜率，从而利用点斜式求得直线l的方程，也易求得最大距离.