Question

【题目】已知p：方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线 =1的离心率e∈（ ， ）．
（1）若椭圆 =1的焦点和双曲线 =1的顶点重合，求实数m的值；
（2）若“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由双曲线 =1，得m＞0，且a2=5，a= ．

∵椭圆 =1的焦点和双曲线 =1的顶点重合，

∴椭圆 =1的焦点在x轴上，且a2=9﹣m，b2=2m，则 ，

∴ ，解得m=

（2）解：∵方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，

∴9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3，

∵双曲线 =1的离心率e∈（ ， ），

∴ （ ），即 ，

若“p∧q”是真命题，则 ＜m＜3

【解析】（1）由双曲线方程可知双曲线的焦点在x轴上，进一步可得椭圆的焦点在x轴上，求出椭圆的半焦距与双曲线的实半轴长，列等式求得m值；（2）由方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，双曲线 =1的离心率e∈（ ， ）分别求出m的范围，结合“p∧q”是真命题，取交集得答案．