Question

10．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≥0}\\{x+2y-7≤0}\\{ax-y-2≤0}\end{array}\right.$，且x²+y²的最小值为8，则正实数a的取值范围为（0，2]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据x²+y²的最小值为8，确定直线ax-y-2=0满足的条件即可得到结论．

解答 解：设z=x²+y²，
则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，
圆心到直线x+y-4=0的距离d=$\frac{|-4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
此时d²=（2$\sqrt{2}$）²=8，满足x²+y²的最小值为8，
即切点F在区域ABC内，
即F在ax-y-2=0的上方，
∵x+y-4=0的斜率为-1，OF⊥AC，
∴OF的斜率k=1，即OF的直线方程为y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即F（2，2），
则满足2a-2-2≤0，
解得a≤2，
∵a＞0，∴0＜a≤2，
故答案为：（0，2]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定直线ax-y-2=0满足的条件，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．