Question

15．已知函数f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，g（x）=cos2πx+kcosπx，若对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则实数k的取值范围为k≥2$\sqrt{2}$或k$≤-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），只须让函数f（x）在x₁∈R的值域是函数g（x）值域的子集即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，当x=0时，f（0）=0；
当x＞0时，f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=2，即有f（x）∈（0，2]；
当x＜0时，由f（x）为奇函数，则有f（x）∈[-2，0）．
则f（x）的值域为[-2，2]．
g（x）=cos2πx+kcosπx=2cos²πx+kcosπx-1=2（cosπx+$\frac{k}{4}$）²-$\frac{{k}^{2}}{8}$-1，
由-1≤cosπx≤1，
当-$\frac{k}{4}$≤-1即k≥4时，g（x）的最小值为2-k-1=1-k，最大值为1+k；
当-$\frac{k}{4}$≥1即k≤-4时，g（x）的最小值为2-k+1=1+k，最大值为1-k；
当-1＜-$\frac{k}{4}$＜1，即-4＜k＜4时，g（x）的最小值为-$\frac{{k}^{2}}{8}$-1，最大值为1+k或1-k．
对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
须让函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集．
由$\left\{\begin{array}{l}{k≥4}\\{1-k≤-2}\\{1+k≥2}\end{array}\right.$解得k≥4；
由$\left\{\begin{array}{l}{k≤-4}\\{1+k≤-2}\\{1-k≥2}\end{array}\right.$解得k≤-4；
由$\left\{\begin{array}{l}{-4＜k≤0}\\{-\frac{{k}^{2}}{8}-1≤-2}\\{1-k≥2}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{-4＜k≤0}\\{k≥2\sqrt{2}或k≤-2\sqrt{2}}\\{k≤-1}\end{array}\right.$即为-4＜k≤-2$\sqrt{2}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜4}\\{-\frac{{k}^{2}}{8}-1≤-2}\\{1+k≥2}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{0＜k＜4}\\{k≥2\sqrt{2}或k≤-2\sqrt{2}}\\{k≥1}\end{array}\right.$，可得2$\sqrt{2}$≤k＜4．
则有实数k的取值范围为k≥2$\sqrt{2}$或k$≤-2\sqrt{2}$．
故答案为：k≥2$\sqrt{2}$或k$≤-2\sqrt{2}$．

点评 解决本题的关键是把任意性和存在性问题转化成求两个函数的值域问题解决．