题目内容
【题目】设函数
。
（1）若
时，函数
取得极值，求函数的图像在
处的切线方程；
（2）若函数在区间
内不单调，求实数
的取值范围。
【答案】（Ⅰ）切线方程为
；（Ⅱ）
．
【解析】
试题分析：(1)求出导函数, 由f′(1)＝0得a＝－2,求出f(x)的解析式,将x＝－1代入f(x)求出切点坐标,将x＝－1代入导函数求出切线的斜率,由点斜式求出切线的方程.
(2)函数不单调,即函数在区间(
，1)有极值,即导函数在区间上有解,令导函数为0,分离出a,求出a的范围.
试题解析：(Ⅰ)f′(x)＝3x2＋2ax＋1由f′(1)＝0得a＝－2
∴f(x)＝x3－2x2＋x＋1，当x＝－1时，y＝－3即切点(－1，－3)
k＝f′(x0)＝3
－4x0＋1，令x0＝－1得k＝8，
∴切线方程为8x－y＋5＝0
(Ⅱ)f(x)在区间(，1)内不单调 ，即f′(x)＝0在(，1)有解
∴3x2＋2ax＋1＝0,2ax＝－3x2－1由x∈(，1)，∴2a＝－3x－
令h(x)＝－3x－
∴h′(x)＝－3＋
<0知h(x)在(
，1)单调递减，在(，]单调递增
∴h(1)<h(x)≤h()即h(x)∈(－4，－2
]，
∴－4<2a≤－2即－2<a≤－
而当a＝－，时，f′(x)＝3x2－2x＋1＝(x－1)2≥0
∴舍去，
综上a∈(－2，－).
【题目】某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：
答对题目数 |
| 8 | 9 |
|
女 | 2 | 13 | 12 | 8 |
男 | 3 | 37 | 16 | 9 |
(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；
(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.
【题目】某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量
（万件）之间的关系如下表所示：
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 4.00 | 5.52 | 7.00 | 8.49 |
现有三种函数模型：
，
，
（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取
这两年的数据求出相应的函数解析式；
（2）因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.
【题目】某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 | 分组 | 低碳族的人数 | 占本组的频率 |
第一组 | [25，30) | 120 | 0.6 |
第二组 | [30，35) | 195 |
|
第三组 | [35，40) | 100 | 0.5 |
第四组 | [40，45) |
| 0.4 |
第五组 | [45，50) | 30 | 0.3 |
第六组 | [50，55] | 15 | 0.3 |
(1)补全频率分布直方图并求
的值；
(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[4，45)岁的概率.
