题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex﹣x2+2a+b(x∈R)的图象在x=0处的切线为y=bx.(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若k∈Z,且f(x)+ (3x2﹣5x﹣2k)≥0对任意x∈R恒成立,求k的最大值.
【答案】解:(I)f′(x)=ex﹣2x,f′(0)=1=b,f(0)=1+2a+b=0,
联立解得b=1,a=﹣1.
(II)由(I)可得:f(x)=e2﹣x2﹣1.
f(x)+ (3x2﹣5x﹣2k)≥0对任意x∈R恒成立k≤ex+
﹣
x﹣1对x∈R恒成立.
令h(x)=ex+ ﹣
x﹣1,h′(x)=ex+x﹣
,h″(x)=ex+1>0恒成立.
∴h′(x)在R上单调递增.
h′(0)= <0,h′(1)=
>0,
=
<0,
=
﹣
﹣
=0.
∴存在唯一零点x0∈ ,使得h′(x0)=0,
当x∈(﹣∞,x0)时,h′(x0)<0,函数h(x)在(﹣∞,x0)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,h′(x0)>0,函数h(x)在(x0,+∞)上单调递增.
∴h(x)min=h(x0)= +
﹣
﹣1,又h′(x0)=
+x0﹣
=0,∴
=
﹣x0,
∴h(x0)= ﹣x0+
﹣
﹣1=
,
∵x0∈ ,∴h(x0)∈
.
又k≤ex+ ﹣
x﹣1对x∈R恒成立k≤h(x0),k∈Z.
∴k的最大值为﹣1
【解析】(I)f′(x)=ex﹣2x,f′(0)=1=b,f(0)=1+2a+b=0,联立解得b,a.(II)由(I)可得:f(x)=e2﹣x2﹣1.f(x)+ (3x2﹣5x﹣2k)≥0对任意x∈R恒成立k≤ex+
﹣
x﹣1对x∈R恒成立.令h(x)=ex+
﹣
x﹣1,h′(x)=ex+x﹣
,h″(x)=ex+1>0恒成立.可得h′(x)在R上单调递增.h′(0)<0,h′(1)>0,
<0,
>0.可得存在唯一零点x0∈
,使得h′(x0)=0,利用单调性可得:h(x)min=h(x0)=
+
﹣
﹣1,进而得出结论.
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