题目内容
【题目】已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直,如图,其中AF=1,AD=2,∠ADC= ,点N时线段AD的中点.
(Ⅰ)试问在线段BE上是否存在点M,使得直线AF∥平面MNC?若存在,请证明AF∥平面MNC,并求出 的值,若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求二面角N﹣CE﹣D的正弦值.
【答案】解:(Ⅰ) 作FE的中点P,连接CP交BE于点M,M点即为所求的点
证明:连接PN,∵N是AD的中点,P是FE的中点,∴PN∥AF,
又PN平面MNC,AF平面MNC,
∴直线AF∥平面MNC.
∵PE∥AD,AD∥BC,∴PE∥BC,
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PN⊥AD,又面ADEF⊥面ABCD,面ADEF∩面ABCD=AD,PN面ADEF,
所以PN⊥面ABCD.
故PN⊥ND,PN⊥NC.
以N为空间坐标原点,NC,ND,NP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz,
∵∠ADC= ,AD=DC=2,∴△ADC为正三角形,NC=
,
∴N(0,0,0),C( ,0,0),D(0,1,0),E(0,1,1),
∴ =(0,1,1),
=(
,0,0),
=(0,0,1),
=(
,﹣1,0),
设平面NEC的一个法向量n1=(x,y,z),则由n1 =0,n1
=0可得
令y=1,则n1=(0,1,﹣1).
设平面CDE的一个法向量n2=(x1,y1,z1),则由n2 =0,n2
=0可得
令x1=1,则n2=(1,
,0).
则cos<n1,n2>= ,
设二面角N﹣CE﹣D的平面角为θ,则sinθ= ,
∴二面角N﹣CE﹣D的正弦值为
【解析】(Ⅰ) 作FE的中点P,连接CP交BE于点M,M点即为所求的点,由PE∥AD,AD∥BC,得PE∥BC, ,(Ⅱ)由(Ⅰ)得PN⊥ND,PN⊥NC,以N为空间坐标原点,NC,ND,NP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz,N(0,0,0),C(
,0,0),D(0,1,0),E(0,1,1),利用向量法求解.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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