Question

【题目】大庆实验中学在高二年级举办线上数学知识竞赛，在已报名的400名学生中，根据文理学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）估算一下本次参加考试的同学成绩的中位数和众数；

（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

（3）已知样本中有一半理科生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的文理科生人数相等.试估计总体中理科生和文科生人数的比例.

Answer 1

【答案】（1）中位数为72.5，众数为75（2）20（3）3∶2

【解析】

（1）算出每组的概率，进而找到50%落在哪个组，代入计算即可求解中位数，众数很明显在最高出中间位置产生；（2）先算出总体多少人再乘以[40，50)的概率即可求解；（3）先算出总共分数不小于70的人数， 从而算出样本中分数不小于70的理科生人数，再得到文科生人数即可求解。

解析：（1）可以估计出中位数为72.5，众数为75.

（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.

所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.

（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，

所以样本中分数不小于70的理科生人数为60×＝30.所以样本中的理科生人数为30×2＝60，文科生人数为100－60＝40，

所以根据分层抽样原理，总体中理科生和文科生人数的比例估计为60∶40＝3∶2.