Question

5．已知函数f（x）=x³-2x²+2，则下列区间必存在零点的是（　　）

• A． （$-2，-\frac{3}{2}$）
• B． （$-\frac{3}{2}，-1）$
• C． （$-1，-\frac{1}{2}$）
• D． （$-\frac{1}{2}，0$）

Answer 1

分析 要判断函数f（x）=x³-2x²+2的零点的位置，根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．

解答 解：∵f（-2）=-8-8+2=-14，
f（$-\frac{3}{2}$）=$-\frac{27}{8}-\frac{9}{2}+2＜0$，
f（-1）=-1-2+2=-1
f（$-\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{8}$$-\frac{1}{2}$+2=$\frac{11}{8}$，
f（0）=2．
根据零点存在定理，∵f（-1）•f（$-\frac{1}{2}$）＜0
故（-1，$-\frac{1}{2}$）内存在零点
故选：C．

点评 本题主要考查了零点存在定理，即如果函数f（x）在区间（a，b）上存在一个零点，则f（a）•f（b）＜0，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，我们要分类讨论，属基础题．