Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．

（1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；

（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；

（3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为，

【解析】

（1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状；

（2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程；

（3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用

，解出方程组可得出所过定点的坐标.

（1）由题意得，化简可得：，

所以动点的轨迹方程为.

曲线是以为圆心，为半径的圆；

（2）①当直线斜率不存在时，，不成立；

②当直线的斜率存在时，设，即，

圆心到的距离为 ∵

∴, 即，解得或，

∴的方程为或；

（3）证明：∵在直线上，则设

∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得，

∴经过的三点的圆是以为直径的圆，

则方程为，

整理可得,

令，且,

解得或

则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.