Question

（2012•黄州区模拟）已知集合A={x∈R|

x+1

2x-1

≤2}，集合B={a∈R|已知函数f（x）=

a

x

-1+lnx，?x₀＞0，使f（x₀）≤0成立}，则A∩B=（　　）

• A．{x|x＜

  1

  2

  }
• B．{x|x≤

  1

  2

  或x=1}
• C．{x|x＜

  1

  2

  或x=1}
• D．{x|x＜

  1

  2

  或x≥1}

Answer 1

分析：解分式不等式求出集合A，根据集合B可得a≤x-xlnx 在（0，+∞）上有解．利用导数求得h（x）=x-xlnx的值域为（-∞，1]，要使不等式a≤xlnx 在（0，+∞）上有解，
只要a小于或等于h（x）的最大值即可，即a≤1 成立，故B={a|a≤1}，由此求得A∩B．

解答：解：集合A={x∈R|

x+1

2x-1

≤2}={x|

3-3x

2x-1

≤0}={x|

x-1

2x-1

 ≥0 }={x|（x-1）（2x-1）≥0，且2x-1≠0}
={x|x＜

1

2

，或 x≥1}．
由集合B 可知f（x）的定义域为{x|x＞0}，不等式

a

x

-1+lnx≤0有解，
即不等式a≤x-xlnx 在（0，+∞）上有解．
令h（x）=x-xlnx，可得h′（x）=1-（lnx+1）=-lnx，令h′（x）=0，可得 x=1．
再由当0＜x＜1 时，h′（x）＞0，当x＞1 时，h′（x）＜0，可得当x=1时，h（x）=x-xlnx 取得最大值为 1．
要使不等式a≤x-xlnx 在（0，+∞）上有解，只要a小于或等于h（x）的最大值即可．
即a≤1 成立，所以集合B={a|a≤1}．
所以A∩B={x|x＜

1

2

，或 x=1}．
故选C．

点评：本题主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于中档题．