Question

10．已知不等式（x+2）（x+1）＜0，的解集为{x|a＜x＜b}，若点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上（m，n均为正实数），则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得正数m、n满足2m+n=1，代入可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵不等式（x+2）（x+1）＜0的解集为{x|a＜x＜b}，
∴a=-2，b=-1，
又∵点A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上（m，n均为正实数），
∴正数m、n满足-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即m=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$且n=$\sqrt{2}$-1时取等号．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．