题目内容
(本小题满分14分)如图,在正方体中,、分别
为棱、的中点.(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面⊥平面;
(3)如果,一个动点从点出发在正方体的
表面上依次经过棱、、、、上的点,
最终又回到点,指出整个路线长度的最小值并说明理由.
(Ⅰ) 见解析 (Ⅱ) 见解析 (Ⅲ)
解析:
(1)证明:连结.
在正方体中,对角线.又 E、F为棱AD、AB的中点,
. .……2分又B1D1平面,平面,
EF∥平面CB1D1. ……4分
(2)证明: 在正方体中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1,
AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1, B1D1⊥平面CAA1C1.……6分
又 B1D1平面CB1D1,平面CAA1C1⊥平面CB1D1.……8分
(3)最小值为 . …10分
如图,将正方体六个面展开成平面图形, ……12分
从图中F到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点,所求的最小值为 .…14分
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