Question

20．使$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$＞$\frac{995}{1994}$成立的最小的自然数是249．

Answer 1

分析 留言裂项求和求解左侧，然后求解不等式即可．

解答 解：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
左=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$$[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
使$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$＞$\frac{995}{1994}$成立
可得8n+4＞1994
n＞248．
所以n的最小值是249．
故答案为：249．

点评 本题考查数列求和的应用，考查计算能力．