Question

已知数列{an}满足递推关系式：an=

4an-1-2

an-1+1

(n≥2，n∈N)，首项为a1．
（1）若a₁＞a₂，求a₁的取值范围；
（2）记b_n=

an-2

an-1

(n∈N*)，1＜a1＜2，求证：数列{bn}是等比数列；
（3）若a_n＞a_n+1（n∈N^*）恒成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据递推关系式先求出a₂，再由a₁＞a₂，解不等式得到a₁的取值范围；
（2）由b_n与a_n的关系，a_n与a_n-1的关系，求出b_n与b_n-1的关系，即得到公比，从而得证；
（3）结合（2）中数列{b_n}通项公式，代入a_n＞a_n+1中得到b₁和n的关系，先求出b₁的范围，再求出a₁的取值范围．

解答：解：（1）∵a2=

4a1-2

a1+1

则由a2＜a1知

4a1-2

a1+1

-a1＜0∴

a 2 1 -3a1+2

a1+1

＞0则a1的范围是：a1＞2或-1＜a1＜1．…（4分）
（2）由bn=

an-2

an-1

=1-

1

an-1

则bn= 4an-1-2 an-1+1 -2 4an+1-2 an-1+1 -1 = 2an-1-4 3an-1+3 = 2 3 • an-1-2 an-1-1 = 2 3 bn-1 故bn=( 2 3 )n-1•b1 其中b1= a1-2 a1-1 ≠0，故{bn}是等比数列．…(9分)

（3）在a₁=2时，数列{a_n}是常数列，a_n=2不符合题意于是a1≠2，从而b1=

a1-2

a1-1

≠0，
由（2）可知bn=(

2

3

)n-1•b1．
又bn=

an-2

an-1

得an=

1

1-bn

+1
于是an+1-an=

1

1-bn+1

-

1

1-bn

=

bn+1-bn

(1-bn+1)(1-bn)

= ( 2 3 )n•b1-( 2 3 )n-1•b1 [1-( 2 3 )n•b1][1-( 2 3 )n-1b1] = ( 2 3 )n-1b1( 2 3 -1) [1-( 2 3 )nb1][1-( 2 3 )n-1b1]

=

- 1 3 •( 2 3 )n-1•b1

[1-( 2 3 )nb1][1-( 2 3 )n-1b1]

＜0．

∴b1[b1-( 3 2 )n][b1-( 3 2 )n-1]＞0恒成立. 从而0＜b1＜( 3 2 )n-1或b1＞( 3 2 )n恒成立. 因此0＜b1＜1，即0＜ a1-2 a1-1 ＜1.

则a₁的范围是：a₁＞2．…（13分）

点评：此题考查分式不等式解法，数列的递推关系，及利用求等比来证明等比数列的证明方法．