Question

6．三棱锥P-ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面 ABC，D、E分别为AB、PB的中点．
（1）求证AC⊥PD；
（2）求三棱锥P-CDE的体积．
（3）（理）求点P到面CDE的距离．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连PO，则PO⊥AC，证明AC⊥面POD，然后说明AC⊥PD．
（2）通过V_P-CDE=V_D-PCE，求出${S_{△PCE}}=\frac{1}{2}{S_{△PBC}}$，利用$\frac{{{V_{P-CDE}}}}{{{V_{P-ABC}}}}=\frac{1}{4}$．求解几何体的体积即可．
（3）证明BC⊥面PAC，求出CE，CD，通过几何体的体积求解点P到面CDE的距离．

解答 （1）证明：取AC中点O，连PO，则PO⊥AC，又面PAC⊥面ABC，
∴PO⊥面ABC，连OD，则OD∥BC，则DO⊥AC，
∴AC⊥面POD，∴AC⊥PD．    （6分）
（2）解：V_P-CDE=V_D-PCE，∵E为PB中点，∴${S_{△PCE}}=\frac{1}{2}{S_{△PBC}}$，${V_{D-PCE}}=\frac{1}{2}{V_{D-PBC}}=\frac{1}{2}{V_{P-DBC}}=\frac{1}{4}{V_{P-ABC}}$，即$\frac{{{V_{P-CDE}}}}{{{V_{P-ABC}}}}=\frac{1}{4}$．
易求得${V_{P-ABC}}=\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$，故${V_{P-CDE}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．（8分）
（3）解：（理）∵面PAC⊥面ABC，且AC⊥BC，
∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，又E为PB中点，
∴$CE=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}\sqrt{P{B^2}+B{C^2}}=2\sqrt{2}$，同理得$CD=2\sqrt{2}$，
又$DE=\frac{1}{2}PA=2$，∴${S_{△CDE}}=\sqrt{7}$
∵${V_{P-CDE}}=\frac{1}{3}{S_{△CDE}}•h$，∴$h=\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$
所以，点P到面CDE的距离为$\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$（13分）

点评 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，点到平面的距离的求法，考查计算能力．