Question

设函数f(x)=

2x

1+|x|

(x∈R)，区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、无数多个

Answer 1

分析：由题设知对于集合N中的函数f（x）的定义域为[a，b]，对应的f（x）的值域为N=M=[a，b]．由函数f(x)=

2x

1+|x|

(x∈R)，知f（x）是增函数．故N=[

2a

1+|a|

，

2b

1+|b|

]，由此能导出使M=N成立的实数对（a，b）的个数．

解答：解：∵x∈M，M=[a，b]，
则对于集合N中的函数f（x）的定义域为[a，b]，
对应的f（x）的值域为N=M=[a，b]．
又∵f(x)=

2x

1+|x|

=

2- 2 1+x     (x≥0) -2+ 2 1-x   (x＜0)

，
故当x∈（-∞，+∞）时，函数f（x）是增函数．
故N=[

2a

1+|a|

，

2b

1+|b|

]，
由N=M=[a，b]得

a=0 b=1

或

a=-1 b=0

或

a=-1 b=1

，
故选C．

点评：本题考查集合相等的概念，解题时要注意绝对值的性质和应用．