题目内容
如图，在体积为1的三棱锥A-BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于（ ）
A．
| B．
| C．
| D．
|
AA'为正三棱锥A-BCD的高；OO'为正三棱锥O-BCD的高
因为底面△BCD相同，则它们的体积比为高之比
已知三棱锥A-BCD的体积为1
所以，三棱锥O-BCD的体积为：
…（1）
由前面知，FG∥CD且
=
所以由平行得到，
=
=
所以，
=
[面BCG所在的平面图如左上角简图]
同理，
=
则，
=
所以，PN∥BC
那么，
=
=
亦即，
=
=
设GQ=x
那么，GT=
x
则，QT=GQ-GT=x-
=
而，
=
=
=
所以：
=
则，TO=
QT=
×
x=
所以：GO=GT+TO=
x+
=
所以，OQ=GQ-GO=x-
=
又，
=
所以，
=
=
…（2）
且，
=
所以：
=
…（3）
由（2）*（3）得到：
=
×
=
代入到（1）得到：
三棱锥O-BCD的体积就是
=
因为底面△BCD相同，则它们的体积比为高之比
已知三棱锥A-BCD的体积为1
所以，三棱锥O-BCD的体积为：
| OO′ |
| AA′ |
由前面知，FG∥CD且
| FG |
| CD |
| 2 |
| 3 |
所以由平行得到，
| FG |
| CD |
| GN |
| NC |
| 2 |
| 3 |
| GN |
| GC |
| 2 |
| 5 |
同理，
| GP |
| GB |
| 2 |
| 5 |
则，
| GN |
| GC |
| GP |
| GB |
所以，PN∥BC
那么，
| PN |
| BC |
| GN |
| GC |
| 2 |
| 5 |
| GT |
| GQ |
| GN |
| GC |
| 2 |
| 5 |
那么，GT=
| 2 |
| 5 |
则，QT=GQ-GT=x-
| 2x |
| 5 |
| 3x |
| 5 |
| TO |
| OQ |
| TN |
| BQ |
| GN |
| GC |
| 2 |
| 5 |
| TO |
| TQ |
| 2 |
| 7 |
则，TO=
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 7 |
| 3 |
| 5 |
| 6x |
| 35 |
所以：GO=GT+TO=
| 2 |
| 5 |
| 6x |
| 35 |
| 4x |
| 7 |
| 4x |
| 7 |
| 3x |
| 7 |
又，
| OQ |
| GQ |
| OO′ |
| GG′ |
所以，
| OO′ |
| GG′ |
| ||
| x |
| 3 |
| 7 |
且，
| DG |
| DA |
| GG′ |
| AA′ |
所以：
| GG′ |
| AA′ |
| 1 |
| 3 |
由（2）*（3）得到：
| OO′ |
| AA′ |
| 3 |
| 7 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
三棱锥O-BCD的体积就是
| OO′ |
| AA′ |
| 1 |
| 7 |
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，且它的
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