Question

12．如图，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的下顶点为B，右焦点为F，直线BF与椭圆E的另一个交点为A，$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FA}$．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若点P为椭圆上的一个动点，且△PAB面积的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}+2}}{3}$，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （I）由B（0，-b），F（c，0），$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FA}$．可得A$（\frac{4}{3}c，\frac{1}{3}b）$，代入椭圆的标准方程即可得出e．
（II）由（I）可知：a=$\sqrt{2}$c，b=c．可得k_BF=1，$A（\frac{4}{3}c，\frac{1}{3}c）$，B（0，-c），|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，直线AB的方程为：y=x-c．当△PAB面积取最大值时，动点P离直线AB的距离最大．设直线l：y=x+m（m＞0），为椭圆的一条切线，与椭圆的方程联立可得3x²+4mx+2m²-2c²=0，由△=0，可得$m=\sqrt{3}$c，可得直线l与AB的距离d=$\frac{|\sqrt{3}c+c|}{\sqrt{2}}$，此时S_△PAB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{2\sqrt{3}+2}{3}$，解出即可．

解答 解：（I）∵B（0，-b），F（c，0），$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FA}$．
可得A$（\frac{4}{3}c，\frac{1}{3}b）$，
代入椭圆的标准方程可得：$\frac{（\frac{4}{3}c）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{b}{3}）^{2}}{{b}^{2}}=1$，
化为$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（II）由（I）可知：a=$\sqrt{2}$c，b=c．
可得k_BF=1，$A（\frac{4}{3}c，\frac{1}{3}c）$，B（0，-c），
|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$c，直线AB的方程为：y=x-c．
当△PAB面积取最大值时，动点P离直线AB的距离最大．
设直线l：y=x+m（m＞0），为椭圆的一条切线，且l∥AB．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为3x²+4mx+2m²-2c²=0，
由△=0，可得$m=\sqrt{3}$c，即l：y=x+$\sqrt{3}c$，
直线l与AB的距离d=$\frac{|\sqrt{3}c+c|}{\sqrt{2}}$，
此时S_△PAB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}•\frac{4\sqrt{2}}{3}c×\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}c$=$\frac{2\sqrt{3}+2}{3}$，
解得c=1，可得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为△=0、平行线之间的距离、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．