Question

14．（1）求函数g（x）=x²-ax+3在区间[-1，1]上的最小值．
（2）对函数f（x）（x∈[a，b]），定义f′（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值，若f（x）=x²-1（-2≤x≤3），求f′（x）．（可以直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）先将函数配方，确定函数的对称轴，再利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论，从而可求函数f（x）=x²-ax+3在区间[-1，1]上的最小值；
（2）由新定义，讨论x的范围，结合二次函数的最值的求法，即可得到所求．

解答 解：（1）f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{1}{4}$a²．
①当$\frac{a}{2}$＜-1，即a＜-2时，函数在区间[-1，1]上单调增，
∴函数f（x）的最小值为f（-1）=4+a；
②当-1≤$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a≤2时，函数在区间[-1，$\frac{a}{2}$]上单调减，
在区间[$\frac{a}{2}$，1]上单调增，
∴f（x）的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=3-$\frac{1}{4}$a²；
③当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2时，函数在区间[-1，1]上单调减，
∴f（x）的最小值为f（1）=4-a．
综上可知，f（x）的最小值为：$\left\{\begin{array}{l}{4+a，a＜-2}\\{3-\frac{{a}^{2}}{4}，-2≤a≤2}\\{4-a，a＞2}\end{array}\right.$．
（2）当-2≤x≤2时，f′（x）=3；
当2＜x≤3时，f′（x）=x²-1．
即有f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3，-2≤x≤2}\\{{x}^{2}-1，2＜x≤3}\end{array}\right.$．

点评 本题重点考查二次函数在指定区间上的最值问题，解题的关键是正确配方，确定函数的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论和新定义的理解及运用．