题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-1）2+y2=16，圆C2：（x+1）2+y2=1，点S为圆C1上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心C2（-1，0）恰与点S重合，折痕与直线SC1交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过动点S作圆C2的两条切线，切点分别为M、N，求MN的最小值；
（3）设过圆心C2（-1，0）的直线交圆C1于点A、B，以点A、B分别为切点的两条切线交于点Q，求证：点Q在定直线上．
分析：（1）由题意得|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PS|=4＞|C1C2|，故P点的轨迹是以C1、C2为焦点，4为长轴长的椭圆，由此可求P点的轨迹方程；
（2）法1（几何法） 根据四边形SMC2N的面积=
1
2
SC2•MN=
1
2
SM•MC2×2=SM，可得MN=
2SM
SC2
=2cos∠MSC2=2
1-sin2∠MSC2
=2
1-
1
SC22
，从而SC2取得最小值时，MN取得最小值；
法2（代数法） 设S（x0，y0），设出以SC2为直径的圆的标准方程，该方程与圆C2的方程相减得，求出圆心C2到直线MN的距离，d=
1
16+4x0
，根据x0∈[-3，5]，求得dmax=
1
2
，从而可求求MN的最小值；
（3）设Q（m，n），求出“切点弦”AB的方程，将点（-1，0）代入，即可得到结论．
解答：解：（1）由题意得|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PS|=4＞|C1C2|，故P点的轨迹是以C1、C2为焦点，4为长轴长的椭圆，
则2a=4，c=1，所以a=2，b=
3
，故P点的轨迹方程是
x2
4
+
y2
3
=1．（5分）
（2）法1（几何法） 四边形SMC2N的面积=
1
2
SC2•MN=
1
2
SM•MC2×2=SM，
所以MN=
2SM
SC2
=2cos∠MSC2=2
1-sin2∠MSC2
=2
1-
1
SC22
，（9分）
从而SC2取得最小值时，MN取得最小值，显然当S（-3，0）时，SC2取得最小值2，
所以MNmin=2
1-
1
4
=
3
．（12分）
法2（代数法） 设S（x0，y0），则以SC2为直径的圆的标准方程为(x-
x0-1
2
)2+(y-
y0
2
)2=(
x0+1
2
)2+(
y0
2
)2，
该方程与圆C2的方程相减得，（x0+1）x+y0y+x0=0，（8分）
则圆心C2到直线MN的距离d=
1
(x0+1)2+y02
=
1
x02+y02+2x0+1
，
因为(x0-1)2+y02=16，所以x02+y02=15+2x0，从而d=
1
16+4x0
，x0∈[-3，5]，
故当x0=-3时dmax=
1
2
，
因为MN=2
1-d2
，所以MNmin=2
1-(
1
2
)2
=
3
．（12分）
（3）设Q（m，n），则“切点弦”AB的方程为（m-1）（x-1）+ny=16，
将点（-1，0）代入上式得m=-7，n∈R，故点Q在定直线x=-7上．（16分）
点评：本题主要考查直线、圆、椭圆基础知识，考查运算求解、综合应用能力．
练习册系列答案
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在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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