Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x³-4x+3．有下列命题：
①；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x³+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：①因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以；又因为对于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以
f（）可化为f（），因为都在[0，1]上，所以可以比较大小，通过计算可得．故可知①正确．
②当x∈[-1，0]时，则-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）³-4（-x）+3=-x³+4x+3≠x³+4x+3．故可知②不正确．
③因为f^′（x）=3x²-4，所以当x∈[0，1]时，可知f（x）在x∈[0，1]上单调递减．又因为f（0）=3，f（1）=0，所以
f（x）=0在x∈[0，1]时只有一个根1；同时，因为f（x）是偶函数，所以f（x）在x∈[-1，0]上亦有且只有一个根-1，又因为对于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（1）=f（3）=f（5）=…
故f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标为：1，3，5，…．从而可判断出③正确．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]上单调递减，且0≤f（x）≤3，则函数y=f（x）与y=|x|的图象在x∈[0，1]上有且只有有一个交点，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一个根，设为x₁．由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（-x₁）=f（x₁）=|-x₁|，即-x₁也是方程f（x）=|x|的一个根，这就是说：方程f（x）=|x|在x∈[-1，1]上有且只有两个根x₁，-x₁．同理，方程f（x）=|x|分别在x∈[1，2]、[2，3]上各有一个根，设为x₂，x₃；易知，方程f（x）=|x|分别在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一个根，且为-x₂，-x₃．在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|无根．综上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6个根．因此④不正确．
解答：解：①∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴==；
又∵对于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，
∴f（）=f（6+）=f（）=f（2-）=f（）=f（）==＞f（）．
故可知①正确．
②当x∈[-1，0]时，则-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）³-4（-x）+3=-x³+4x+3≠x³+4x+3．
故可知②不正确．
③因为f^′（x）=3x²-4，所以当x∈[0，1]时，恒有f^′（x）＜0成立，故f（x）在x∈[0，1]时单调递减．
又因为f（0）=3，f（1）=0，所以f（x）=0在x∈[0，1]时有且只有一个根1；同理f（x）=0在x∈[-1，0]上有且只有一个根-1．
又因为对于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（-1）=f（1）=f（3）=f（5）=…；
故f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标为：1，3，5，…．是由小到大构成一个无穷等差数列{2n-1}．
故③正确．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]时单调递减，且0≤f（x）≤3，
则函数y=f（x）与y=|x|的图象在x∈[0，1]上有且只有有一个交点，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一个根，设为x₁．
由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（-x₁）=f（x₁）=|-x₁|，即-x₁也是方程f（x）=|x|的一个根．
同理，方程f（x）=|x|分别在x∈[1，2]、[2，3]上各有一个根，设为x₂，x₃；易知，方程f（x）=|x|分别在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一个根，且为-x₂，-x₃．
在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|无根．
综上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6个根．因此④不正确．
综上可知①、③正确．
点评：此题综合考查了函数的单调性、奇偶性、周期性及方程的根，等差数列等知识；还考查了数形结合的思想方法．