Question

6．设函数f（x）=（a-x）e^x-1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，$\frac{f（x）}{x}$＜1恒成立，证明：a=1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=1时，函数f（x）的导数，求得增区间和减区间，即可得到极大值，即为最大值f（0）；
（Ⅱ）①当x∈（-∞，0）时，$\frac{f（x）}{x}$＜1?（a-x）e^x＞x+1即a＞x+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，②当x∈（0，+∞）时，$\frac{f（x）}{x}$＜1?（a-x）e^x＜x+1，a＜x+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，分别求出右边函数的最值或值域，即可得证a=1．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x．
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0）上单调递增．
故f（x）在x=0处取得极大值，也为最大值f（0）=0．
（Ⅱ）证明：①当x∈（-∞，0）时，$\frac{f（x）}{x}$＜1?（a-x）e^x＞x+1即a＞x+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=x+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，g′（x）=1-$\frac{x}{{e}^{x}}$＞0，
则g（x）在（-∞，0）上是增函数，g（x）＜g（0）=1，即有a≥1．
②当x∈（0，+∞）时，$\frac{f（x）}{x}$＜1?（a-x）e^x＜x+1，a＜x+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，由①知g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{{e}^{x}}$，
令h（x）=e^x-x，h′（x）=e^x-1＞0，
则h（x）＞h（0）=1，g′（x）＞0，g（x）＞g（0）=1，即有a≤1．
故a=1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立思想的运用，属于中档题．