题目内容
【题目】已知函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)若对任意,都有
,求的
取值范围;
(3)证明函数的图象在
图象的下方.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】
试题(1)首先求出函数的定义域,再对
求导,代入
,解方程可得
,即可求得函数
的解析式;
(2)由题意可得 恒成立,即
恒成立,令
,求出
的导数,单调区间,求得最大值,即可得到
的取值范围;
(3)要证明函数的图象在
图象的下方.,即证
恒成立,即证
,即证
,令
求得导数,得到单调性,即可得证.
试题解析:(1)易知函数的定义域 所以
,又
;
(2)若对任意的 ,都有
即 恒成立,即
恒成立
令,则
当 时,
所以
单调递增;
当 时,
所以
单调递减;
时,
有最大值
,即
的取值范围为
(3)要证明函数的图象在
图象的下方.,即证
恒成立,即
由(2)可得: ,所以
要证明 ,只要证明
,即证
令 则
当
时,
所以
单调递增,
即
所以 从而得到
,
所以函数的图象在
图象的下方
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