Question

（2010•郑州三模）某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m处，这时命中记3分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且不再继续射击．已知射手甲在100m处击中目标的概率为

1

2

，他的命中率与其距目标距离的平方成反比，且各次射击是否击中目标是相互独立的．
（Ⅰ）分别求这名射手在150m处、200m处的命中率；
（Ⅱ）求这名射手停止射击时已击中目标的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意，这名选手距目标xm处的命中率Px=

k

x2

，根据P100=

1

2

，求得k=5000．由此求得这名射手在150m处、200m处的命中率．
（2）记100m，150m，200m处命中目标分别为事件A，B，C，由（1）知P=P（A+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

•C），运算求得结果．

解答：解：（1）由题意，这名选手距目标xm处的命中率Px=

k

x2

，∵P100=

1

2

，∴k=5000．
故P150=

5000

1502

=

2

9

，P200=

5000

2002

=

1

8

．
即这名射手在150m处、200m处的命中率分别为

2

9

，

1

8

．    （6分）
（2）记100m，150m，200m处命中目标分别为事件A，B，C，
由（1）知P=P（A+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

•C）=

1

2

+

1

2

×

2

9

+

1

2

×

7

9

×

1

8

=

95

144

．    （12分）

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．