题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为 $数学公式$ ，左准线 l与x轴的交点为M， $数学公式$ ，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与 A₁，A₂均不重合，设直线 PA₁与 PA₂的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若 $数学公式$ ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：（Ⅰ）由题得，设所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；
则有 $\text{[math]}$
所以椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴k₁•k₂为定值 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）设M（x，y），其中 $\text{[math]}$ ．
由已知 $\text{[math]}$ 及点P在椭圆C上可得 $\text{[math]}$ ，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时，化简得y²=6，
所以点M的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当 $\text{[math]}$ 时，方程变形为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时，M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足 $\text{[math]}$ 的部分；
当 $\text{[math]}$ 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足 $\text{[math]}$ 的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．
分析：（Ⅰ）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，半焦距为c，由题意能够导出a，b，c，写出椭圆方程即可；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），分别求出k₁，k₂的表达式，再求得k₁•k₂为定值即可；
（Ⅲ）设M（x，y），先由已知 $\text{[math]}$ 及点P在椭圆C上可得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，下面对λ的值进行分类讨论：①当 $\text{[math]}$ 时，②当 $\text{[math]}$ 时，其中再分成三类：一类是：当 $\text{[math]}$ 时，另一类是：当 $\text{[math]}$ 时，最后一类是：当λ≥1时，分别说明轨迹是什么曲线即得．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．