Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）证明：当x＞0时，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由分母不为0，可得f（x）的定义域；
（2）利用奇函数的定义，判断函数f（x）的奇偶性；
（3）当x＞0时，2^x-1＞0，即可证明f（x）＞0．

解答 （1）解：由2^x-1≠0，可得x≠0，∴f（x）的定义域是{x|x≠0}；
（2）解：f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$=-f（x），∴函数f（x）是奇函数；
（3）证明：当x＞0时，2^x-1＞0，∴f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$＞0．

点评 本题考查函数的定义域，奇偶性的判断，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．