题目内容
【题目】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2
，BC＝4
，PA＝2.
(1)求证：AB⊥PC；
(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）利用直角梯形的性质求出AB，AC的长，根据勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；
（2）取BC的中点E，则AE⊥BC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法表示二面角MACD根据已知条件，即可建立a的方程，从而解出a值，故存在．
试题解析：
(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，
由AD＝CD＝2
，BC＝4，
可得AB＝AC＝4，
所以BC2＝AB2＋AC2，
所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，
又PA∩AC＝A，
所以AB⊥平面PAC，
所以AB⊥PC.
(2)存在，理由如下：取BC的中点E，则AE⊥BC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，P(0，0,2)，B(2，－2，0)，
＝(0,2，－2)，
＝(2，2，0)．
设
＝t (0＜t＜1)，
则点M的坐标为(0,2t，2－2t)，
所以
＝(0,2t,2－2t)．
设平面MAC的法向量是n＝(x，y，z)，
则
即
令x＝1，得y＝－1，z＝
，
则n＝
.
又m＝(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，
所以|cos〈m，n〉|＝
＝
＝
，
解得t＝
，即点M是线段PD的中点．
此时平面MAC的一个法向量n＝(1，－1，)，
又
＝(－2，3，1)．
设BM与平面MAC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝
＝
.
故BM与平面MAC所成角的正弦值为.
