Question

12．已知椭圆C的焦点是F₁（0，4），F₂（0，-4），离心率是$\frac{2}{3}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上一点，若△PF₁F₂是直角三角形，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论三角形的直角位置，结合顶点与椭圆的关系，由三角形的面积公式计算即可得到．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，可得a=6，
又b²=a²-c²=36-16=20，
即有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1；
（2）若∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°，
可令y=4，解得x=±$\frac{10}{3}$，
可得△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$×8×$\frac{10}{3}$=$\frac{40}{3}$；
若∠F₁PF₂=90°，则P在圆x²+y²=16上，
联立椭圆$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1，可知无交点．
综上可得△PF₁F₂的面积为$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，同时考查直角三角形的面积，注意讨论直角的位置，属于中档题和易错题．