题目内容
【题目】已知椭圆E的一个顶点为,焦点在x轴上,若椭圆的右焦点到直线
的距离是3.
求椭圆E的方程;
设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时,求直线l的方程.
【答案】(1)(2)
或
【解析】
(1)根据点到直线的距离列式求得c,再求得a;
(2)根据弦长公式求得弦长后,换元成二次函数求最值.
(1)由题意,
右焦点到直线
的距离
,
,
,
∵椭圆的焦点在
轴上,所以椭圆
的方程为
(2)〖解法1〗当不存在时,
当存在时,设直线方程为
,联立
,得
,
令则
所以,当,即
,得
时
的最大值为
,即
的最大值为
直线的方程为.
(2)〖解法2〗设直线的倾斜角为
,则直线
的参数方程为
(
为参数),
设点对应的参数分别为
,且
;
将参数方程代入椭圆方程可得:
,
化简可得:,
若,则上面的方程为
,则
,矛盾
若,则
,
,
则弦长为
上式
,
当且仅当即
或
,
时等号成立.
直线
方程为:
或
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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