题目内容
【题目】设x,y,z∈R,z(x+2y)=m.
(1)若m=1,求的最小值;
(2)若x2+2y2+3z2=m2﹣8,求实数m的取值范围.
【答案】(1)1;(2)(﹣∞,﹣4]∪[4,+∞).
【解析】
(1)由均值不等式及其变形,可得到两数的平方和不小于两数和平方的一半,对运用刚得到的基本不等式的变形性质,结合已知进行求解即可;
(2)由均值不等式和绝对值不等式得x2+2y2+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)≥2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|=2|z(x+2y)|=|m|,进而得到关于m的不等式,解出即可.
(1)∵a2+b2≥2ab,
∴2(a2+b2)≥(a+b)2,即a2+b2(a+b)2,
∴x2+4y2z2(x+2y)2z22|(x+2y)z|=1,
当且仅当x=2y,x+2y=z时,即x=2yz,等号成立,
∴x2+4y2z2的最小值是1.
(2)∵m2﹣8=x2+2y2+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)≥2|xz|+4|yz|,(当且仅当|x|=|y|=|z|时等号成立),
又2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|=2|z(x+2y)|=|m|,(当且仅当xz与yz非异号时等号成立).
∴m2﹣8≥2|m|,即m2﹣2|m|﹣8≥0,
解得|m|≥4,即m≥4或m≤﹣4,
所以m的取值范围为(﹣∞,﹣4]∪[4,+∞).
【题目】“难度系数”反映试题的难易程度,难度系数越大,题目得分率越高,难度也就越小.“难度系数”的计算公式为,其中,为难度系数,为样本平均失分,为试卷总分(一般为100分或150分).某校高三年级的李老师命制了某专题共5套测试卷(每套总分150分),用于对该校高三年级480名学生进行每周测试.测试前根据自己对学生的了解,预估了每套试卷的难度系数,如下表所示:
试卷序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度系数 | 0.7 | 0.64 | 0.6 | 0.6 | 0.55 |
测试后,随机抽取了50名学生的数据进行统计,结果如下:
试卷序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测平均分 | 102 | 99 | 93 | 93 | 87 |
(1)根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分;
(2)从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷,记这2套试卷中平均分超过96分的套数为,求的分布列和数学期望;
(3)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差.设为第套试卷的实测难度系数,并定义统计量,若,则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理,否则认为不合理.试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理.