题目内容
已知向量
=（
，-1），
=（sin2x，cos2x），函数f（x）=
•
．
（1）若f（x）=0且0＜x＜π，求x的值．
（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量
与
的夹角．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（1）若f（x）=0且0＜x＜π，求x的值．
（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量
| a |
| b |
分析：（1）利用向量的数量积可得f（x）=
•
=
sin2x-cos2x，由f（x）=0可求得tan2x=
，而0＜x＜π，于是可求x的值；
（2）依题意，可求f（x）=2sin（2x-
），利用正弦函数的单调性质可求其单调增区间及最大值，再利用向量的数量积可求得向量
与
的夹角．
| a |
| b |
| 3 |
| ||
| 3 |
（2）依题意，可求f（x）=2sin（2x-
| π |
| 6 |
| a |
| b |
解答：解：（1）∵f（x）=
•
=
sin2x-cos2x，
∴由f（x）=0得
sin2x-cos2x=0，即tan2x=
．
∵0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π，
∴2x=
或2x=
，
∴x=
或x=
．
（2）∵f（x）=
sin2x-cos2x
=2（
sin2x-
cos2x）
=2sin（2x-
），
由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
（k∈Z），
得：kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z），
∴f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．
由上可得f（x）max=2，
当f（x）=2时，由
•
=|
|•|
|cos＜
•
＞=2
得：cos＜
•
＞=
=1，
∵0≤＜
•
＞≤π，
∴＜
•
＞=0，即f（x）取得最大值时，向量
与
的夹角为0．
| a |
| b |
| 3 |
∴由f（x）=0得
| 3 |
| ||
| 3 |
∵0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π，
∴2x=
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴x=
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（2）∵f（x）=
| 3 |
=2（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2sin（2x-
| π |
| 6 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得：kπ-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的单调增区间为[kπ-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
由上可得f（x）max=2，
当f（x）=2时，由
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
得：cos＜
| a |
| b |
| ||||
|
|
∵0≤＜
| a |
| b |
∴＜
| a |
| b |
| a |
| b |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
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