Question

12．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为正方体ABCD和AA₁B₁B的中心，则直线D₁M与CN的夹角的余弦值为$\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D₁M与CN的夹角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则M（1，1，0），N（2，1，1），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{CN}$=（2，-1，1），
设直线D₁M与CN的夹角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{D}_{1}M}，\overrightarrow{CN}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{{D}_{1}M}|•|\overrightarrow{CN}|}$|=|$\frac{2-1-2}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$|=$\frac{1}{6}$．
∴直线D₁M与CN的夹角的余弦值为$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．