题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为,轴上方的点在抛物线上,且,直线与抛物线交于,两点(点,与不重合),设直线,的斜率分别为,.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当时,求证:直线恒过定点并求出该定点的坐标.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据及抛物线定义可求p,从而得到方程;
(Ⅱ)设出直线方程,与抛物线方程相联立,写出韦达定理,结合可得关系,从而得到定点坐标.
(Ⅰ)由抛物线的定义可以,
,抛物线的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,点的坐标为
当直线斜率不存在时,此时重合,舍去.
当直线斜率存在时,设直线的方程为
设,将直线与抛物线联立得:
又,
即,
,
,
将①代入得,
即
得或
当时,直线为,此时直线恒过;
当时,直线为,此时直线恒过(舍去)
所以直线恒过定点.
【题目】已知函数.
(1)试讨论函数的极值点的个数;
(2)若,且恒成立,求a的最大值.
参考数据:
1.6 | 1.7 | 1.74 | 1.8 | 10 | |
4.953 | 5.474 | 5.697 | 6.050 | 22026 | |
0.470 | 0.531 | 0.554 | 0.588 | 2.303 |
【题目】某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了让健身馆会员参与的健身促销活动.
(1)为了解会员对促销活动的兴趣程度,现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各人,他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示:
感兴趣 | 无所谓 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 |
根据以上数据能否有的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关?
(参考公式,其中)
(2)在感兴趣的会员中随机抽取人对此次健身促销活动的满意度进行调查,以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数(满分分),如图所示,若将此茎叶图中满意度分为“很满意”(分数不低于分)、“满意”(分数不低于平均分且低于分)、“基本满意”(分数低于平均分)三个级别.先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动,求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率.