题目内容
9．已知数列{an}，满足a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，求an．分析 当n＞1时利用nan=（a1+2a2+3a3+…+nan）-[a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1]计算可知an=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，进而可得结论．
解答 解：依题意，当n＞1时，
nan=（a1+2a2+3a3+…+nan）-[a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1]
=（4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$）-（4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$）
=$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{2（n+1）}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
∴an=$\frac{1}{n}$•$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
又∵a1=1满足上式，
∴an=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
点评 本题考查数列的通项，利用通项bn与求和公式Sn之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
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19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的两条渐近线的夹角为$\frac{π}{3}$，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |