Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若cos2A=$\frac{11}{16}$，
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC面积S=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，a=2，求b，c（其中b＜c）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理即可求出sinA的值；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc的值，记作①，利用余弦定理列出关系式，整理求出b²+c²的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵cos2A=$\frac{11}{16}$，
∴1-2sin²A=$\frac{11}{16}$，即sin²A=$\frac{5}{32}$，
∵A为三角形的内角，
∴sinA=$\frac{\sqrt{10}}{8}$；
（Ⅱ）∵△ABC面积S=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc•$\frac{\sqrt{10}}{8}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，即bc=4$\sqrt{6}$①，
∵sinA=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$（负值舍去），
由余弦定理得：a²=4=b²+c²-2bccosA=b²+c²-18，即b²+c²=22②，
联立①②，结合0＜b＜c，解得：b=$\sqrt{6}$，c=4．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．