题目内容
18．已知函数f（x）=$\frac{x^2+6}{x}$，a＞1，若不等式loga+1x-logax+5＜f（n）对任意n∈N*恒成立，则实数x的取值范围是（1，+∞）．分析 由基本不等式求出函数f（x）=$\frac{x^2+6}{x}$在x＞0时的最值，得到f（n）在n∈N*时的最小值，代入loga+1x-logax+5＜f（n）后求解对数不等式得答案．
解答 解：∵n＞0，f（n）=n+$\frac{6}{n}≥2\sqrt{6}$，
当n=$\sqrt{6}$时取等号，但n∈N*，故当n=2，3时，n+$\frac{6}{n}=5$，
故$n+\frac{6}{n}≥5$，
则由已知得loga+1x-logax+5＜5，
故loga+1x＜logax，
又a+1＞a＞1，
∴实数x的取值范围是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
点评 本题考查了函数的性质，考查了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．
练习册系列答案
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9．
如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（ ）
如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（ ）| A． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | B． | $\sqrt{10}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 3 |
3．由曲线y=$\sqrt{x}$，x轴及直线y=x-2所围成的图形的面积为（ ）
| A． | $\frac{10}{3}$ | B． | 4 | C． | $\frac{16}{3}$ | D． | 6 |