题目内容
已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是 .
【答案】分析:先求出A,B两点的纵坐标,由△ABF2是锐角三角形知,tan∠AF2F1=<1,e2-2e-1<0,解不等式求出e 的范围.
解答:解:在双曲线 中,
令x=-c 得,y=±,∴A,B两点的纵坐标分别为±.
由△ABF2是锐角三角形知,∠AF2F1<,tan∠AF2F1=<tan =1,
∴<1,c2-2ac-a2<0,e2-2e-1<0,∴1-<e<1+.
又 e>1,∴1<e<1+,
故答案为:(1,1+).
点评:本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,判断∠AF2F1<,tan =<1,是解题的关键.
解答:解:在双曲线 中,
令x=-c 得,y=±,∴A,B两点的纵坐标分别为±.
由△ABF2是锐角三角形知,∠AF2F1<,tan∠AF2F1=<tan =1,
∴<1,c2-2ac-a2<0,e2-2e-1<0,∴1-<e<1+.
又 e>1,∴1<e<1+,
故答案为:(1,1+).
点评:本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,判断∠AF2F1<,tan =<1,是解题的关键.
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