题目内容
( (本题满分15分
)椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，并与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，过圆
：
上任意一点
作椭圆的两条切线
． 求证：
．
)椭圆
的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切.(Ⅰ)求椭圆
的方程；(Ⅱ)如图，过圆
：上任意一点作椭圆的两条切线． 求证：．解：（Ⅰ）由
知
椭圆方程可设为
.
又，直线与椭圆相切，代入后方程
满足
.由此得
故椭圆的方程为
----------------6分
（Ⅱ）设
.当
时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好
，
可见，另一条切线平行于轴，； ----------------7分
设
，则两条切线斜率存在.设直线
的斜率为
，
则其方程为
即
代入
并整理得：
---------------9分
由可得：
---------------11分
注意到直线
的斜率也适合这个关系，所以
的斜率
就是上述方程的两根，由韦达定理，
. ---------------13分
由于点在圆：上，
，
所以
这就证明了.
综上所述，过圆上任意一点作椭圆的两条切线，总有. ------15分
知椭圆方程可设为
. 又，直线
与椭圆相切，代入后方程满足 .由此得故椭圆
的方程为 ----------------6分（Ⅱ）设
.当时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好，可见，另一条切线平行于
轴，； ----------------7分设
，则两条切线斜率存在.设直线的斜率为，则其方程为
|
代入并整理得： ---------------9分由
可得： ---------------11分注意到直线
的斜率也适合这个关系，所以的斜率就是上述方程的两根，由韦达定理，. ---------------13分由于点
在圆：上，，所以
这就证明了.综上所述，过圆
上任意一点作椭圆的两条切线，总有. ------15分略
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的离心率为
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，
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．
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两点.
轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
的两焦点为
，
，并且经过点
.
:
，直线
:
，证明当点
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、
分别是椭圆 
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的直线
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.
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