题目内容
(本小题满分14分)
如图所示的长方体中,底面
是边长为
的正方形,
为
与
的交点,
,
是线段
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【答案】
(Ⅰ)略
(Ⅱ)略
(Ⅲ)二面角的大小为
.
【解析】解:(Ⅰ)连接,如图,∵
、
分别是
、
的中点,
是矩形,
∴四边形是平行四边形,∴
.
……………2分
∵
平面
,
平面
,
∴平面
.………… 4分
(Ⅱ)连接,
∵正方形的边长为
,
,
∴,
,
,
则,∴
. ……6分
∵在长方体中,
,
,
∴平面
,又
平面
,
∴,又
,
∴平面
. ……………8分
(Ⅲ)在平面中过点
作
于
,连结
,
∵,
,
∴平面
,又
平面
, …………9分
∴,又
,且
,
∴平面
,而
平面
, …………10分
∴.∴
是二面角
的平面角. ………………12分
在中,
,
∴,
,∴二面角
的大小为
. ……………14分
解法2(坐标法):(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点
、
,
∴
又点,
,
∴
∴,且
与
不共线,
∴.
又平面
,
平面
,
∴平面
.
………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,
,即
,
,
又,∴
平面
. ……………………8分
(Ⅲ)∵
,
,∴
平面
,
∴为平面
的法向量.
∵,
,
∴为平面
的法向量.
∴,
∴与
的夹角为
,
即二面角的大小为
. …………………14分

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