Question

已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆经过点M（1，），斜率为的直线经过椭圆的下顶点D和右焦点F，A、B为椭圆上不同于M的两点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线AB过点F且不与坐标轴垂直，求线段AB的中垂线与轴的交点的横坐标的取值范围。

Answer 1

 （0，）

、解：（1）根据题意，设椭圆的方程为，半焦距为，则D（0，），F（，0），
因为直线DF的斜率为，所以，①
因为M（1，）在椭圆上，所以，②
又，③由①②③得：
所以椭圆的标准方程为
（2）设直线AB的方程为，代入，
得，
设A（），B（），AB为中点N（），
则，，
∴，，
∴AB的中垂线方程为，
令，得，
又，∴，
∴线段AB的中垂线与轴的交点的横坐标的取值范围是（0，）。