题目内容
已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆经过点M(1,),斜率为的直线经过椭圆的下顶点D和右焦点F,A、B为椭圆上不同于M的两点。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线AB过点F且不与坐标轴垂直,求线段AB的中垂线与轴的交点的横坐标的取值范围。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线AB过点F且不与坐标轴垂直,求线段AB的中垂线与轴的交点的横坐标的取值范围。
(0,)
、解:(1)根据题意,设椭圆的方程为,半焦距为,则D(0,),F(,0),
因为直线DF的斜率为,所以,①
因为M(1,)在椭圆上,所以,②
又,③由①②③得:
所以椭圆的标准方程为
(2)设直线AB的方程为,代入,
得,
设A(),B(),AB为中点N(),
则,,
∴,,
∴AB的中垂线方程为,
令,得,
又,∴,
∴线段AB的中垂线与轴的交点的横坐标的取值范围是(0,)。
因为直线DF的斜率为,所以,①
因为M(1,)在椭圆上,所以,②
又,③由①②③得:
所以椭圆的标准方程为
(2)设直线AB的方程为,代入,
得,
设A(),B(),AB为中点N(),
则,,
∴,,
∴AB的中垂线方程为,
令,得,
又,∴,
∴线段AB的中垂线与轴的交点的横坐标的取值范围是(0,)。
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